Số nguyên

Gọi G là nhóm cộng của các số nguyên, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) và H là nhóm con (3Z, +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +). Khi đó các lớp kề của H trong G là ba tập hợp 3Z, 3Z + 1, và 3Z + 2, và 3Z + a = {..., −6 + a, −3 + a, a, 3 + a, 6 + a, ...}. Ba tập hợp này phân hoạch tập Z, nên không có lớp kề phải nào khác của H. Do tính giao hoán của phép cộng nên H + 1 = 1 + H và H + 2 = 2 + H. Nghĩa là mọi lớp kề trái của H cũng là lớp kề phải, do vậy H là nhóm con chuẩn tắc.[5] (ta có thể dùng cách luận này để chứng minh mọi nhóm con của nhóm giao hoán đều chuẩn tắc[6])

Ví dụ này có thể tổng quát hóa thành như sau. Cho G vẫn là nhóm cộng các số nguyên, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +), và giờ gọi H là nhóm con (mZ, +) = ({..., −2m, −m, 0, m, 2m, ...}, +), trong đó m là số nguyên dương. Khi đó các lớp kề của H trong G là m tập hợp mZ, mZ + 1, ..., mZ + (m − 1), trong đó mZ + a = {..., −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, ...}. Không có nhiều hơn m lớp kề, bởi vì mZ + m = m(Z + 1) = mZ. Lớp kề (mZ + a, +) là lớp đồng dư của a modulo m.[7] Nhóm con mZ chuẩn tắc trong Z, do vật có thể lập thành nhóm thương Z/mZ, nhóm các số nguyên modulo m.

Vectơ

Một ví dụ khác đến từ lý thuyết của các không gian vectơ. Các phần tử (vectơ) của không gian vectơ tạo thành nhóm giao hoán dưới phép cộng vectơ. Các không gian con của không gian vectơ là các tập con của nhóm này. Cho không gian vectơ V, không gian con W, và một vectơ cố định a trong V, các tập hợp

được gọi là không gian affin, và là lớp kề (cả trái và phải, bởi nhóm có giao hoán). Khi nói theo các vectơ 3 chiều trong hinh học, các không gian affin này được gọi được gọi là các "đường" hoặc "mặt phẳng" song song với không gian con là đường hoặc mặt phẳng tương ứng đi qua gốc tọa độ. Lấy ví dụ, xét mặt phẳng R2. Nếu m là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, thì m là nhóm con của nhóm abel R2. Nếu P nằm trong R2, thì lớp kề P + m là đường m′ song song với m và chạy qua P.[8]

Ma trận

Gọi G là nhóm nhân các ma trận vuông sau,[9]

G = { [ a 0 b 1 ] : a , b ∈ R , a ≠ 0 } , {\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}

và nhóm con H của G,

H = { [ 1 0 c 1 ] : c ∈ R } . {\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}

Cho một phần tử cố định thuộc G, xét lớp kề trái

[ a 0 b 1 ] H =   { [ a 0 b 1 ] [ 1 0 c 1 ] : c ∈ R } =   { [ a 0 b + c 1 ] : c ∈ R } =   { [ a 0 d 1 ] : d ∈ R } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}

Nghĩa là, các lớp kề trái chứa tất cả các ma trận trong G có cùng phần tử góc trên bên trái. Nhóm con H chuẩn tắc G, nhưng nhóm con sau

T = { [ a 0 0 1 ] : a ∈ R − { 0 } } {\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}

thì không chuẩn tắc trong G.